Quelltext der Seite Dreiphasiger Kurzschlussstrom (Ik) an einem beliebigen Punkt innerhalb einer Niederspannungs-Anlage

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In einer dreiphasigen Anlage wird der Kurzschlussstrom an einem beliebigen Punkt bestimmt durch: 

<math>I_k = \frac{U_{20}}{\sqrt 3 Z_T}</math> , wobei gilt: 

{{def
|U<sub>20</sub>| Spannung zwischen den Außenleitern an den Sekundärwicklungen (ohne Last) des(r) Versorgungstransformator(en). 
|Z<sub>T</sub>| Gesamtimpedanz pro Außenleiter der dem Fehlerort vorgeschalteten Anlage (in Ω) }}

== Methode zur Berechnung von Z<sub>T</sub>  ==

Jede Anlagenkomponente (MS-Netz, Transformator, Kabel, Leistungsschalter, Sammelschienen, Schienenverteiler usw.) wird durch ihre Impedanz Z gekennzeichnet. Die Impedanz beinhaltet einen Widerstand (R) und einen Blindwiderstand (X). Kapazitäten spielen für die Berechnung von Kurzschlussströmen keine Rolle. 

Die Parameter R, X und Z werden in Ohm angegeben und stellen jeweils eine Seite eines rechtwinkeligen Dreiecks dar, wie im Impedanzdiagramm in {{FigureRef|G32}} gezeigt wird. 

{{FigImage|DB422316|svg|G32|Impedanzdiagramm}}

Die Methode besteht in der Aufteilung des Netzes in geeignete Abschnitte und der Berechnung der R- und X-Werte für jeden dieser Abschnitte. 

Bei in Reihe geschalteten Netzabschnitten werden alle Widerstands- und Blindwiderstandskomponenten in den Abschnitten arithmetisch addiert, um R<sub>T</sub> und X<sub>T</sub> zu erhalten. Die Impedanz (Z<sub>T</sub>) für die betreffenden kombinierten Abschnitte wird dann mit folgender Formel berechnet: 

<math>Z_T= \sqrt {R_T\ ^2 + X_T\ ^2}</math> 

Zwei beliebige parallelgeschaltete Netzabschnitte können, wenn beide vorwiegend ohmisch (oder beide induktiv) sind, kombiniert werden, um wie folgt einen einzigen entsprechenden Widerstands- (oder Blindwiderstands-) wert zu erhalten: 

Sind R<sub>1</sub> und R<sub>2</sub> die zwei parallelgeschalteten Widerstände, wird der entsprechende Widerstand R<sub>3</sub> bestimmt durch: 

<math> R_3 =\frac {R_1 \times R_2}{R_1 + R_2}\ ,</math> 

oder für Blindwiderstände 

<math>X_3 = \frac{X_1 \times X_2}{X_1 + X_2} </math> 

Es sei darauf hingewiesen, dass die Berechnung von X<sub>3</sub> nur getrennte Stromkreise ohne gegenseitige Induktivität betrifft. Liegen die parallelgeschalteten Stromkreise nah beieinander, ist der Wert von X<sub>3</sub> beträchtlich höher.

== Bestimmung der Impedanz jeder Komponente  ==

=== Dem Verteiltransformator vorgeschaltetes Verteilnetz ===
(siehe {{FigRef|G33}})

Die dreiphasige Abschaltleistung P<sub>k</sub> , in MVA{{fn|1}}oder der maximale Kurzschlussstrom wird vom betreffenden Energieversorgungsunternehmen angegeben. Von diesem Wert kann ein entsprechender Impedanzwert abgeleitet werden. 

{{tb-start|id=Tab1202|num=G33|title=Die Impedanz des MS-Netzes bezogen auf die NS-Seite des Verteiltransformators, berechnet mit Spannungsfaktor C<sub>MS</sub> = 1,1 für den max. Kurzschlussstrom|cols=3}}
{| class="wikitable"
|-
! P<sub>k</sub> 
! U<sub>20</sub> (V) 
! R<sub>Q</sub> (mΩ) 
! X<sub>Q</sub> (mΩ)
! Z<sub>Q</sub> (mΩ)
|-
| 250 MVA 
| 420 
| 0,077 
| 0,772
| 0,776
|-
| 500 MVA 
| 420 
| 0,038 
| 0,386
|0,388
|}

Eine Formel zur Ableitung und gleichzeitig zur Umrechnung der Impedanz in einen entsprechenden NS-Wert lautet wie folgt: 


<math>Z_Q = \frac{U_o\ ^2\times C_{MS}}{P_k}\ </math>

wobei gilt:

{{def 
|Z<sub>Q</sub>| Impedanz des MS-Netzes in mΩ 
|U<sub>20</sub>| Bemessungsspannung zwischen den Außenleitern (NS ohne Last) in V 
|P<sub>k</sub>| Abschaltleistung des MS-Systems in MVA 
|C<sub>MS</sub>| Spannungsfaktor für das MS-System zur Berechnung der Kurzschlussströme gemäß IEC 60909-0 (VDE 0102) 
|U<sub>MS</sub>| Nennspannung des MS-Systems }}

Der vorgeschaltete (MS) Widerstand R<sub>Q</sub> ist im Allgemeinen, verglichen mit dem entsprechenden X<sub>Q</sub>, vernachlässigbar. Für X<sub>Q</sub> wird der Widerstandswert für Z<sub>Q</sub> angenommen. Sind genauere Berechnungen erforderlich, kann für X<sub>Q</sub> ein Wert von 0,995 Z<sub>Q</sub> und für R<sub>Q</sub> ein Wert von 0,1 X<sub>Q</sub> verwendet werden. 

{{FigureRef|G36}} enthält R<sub>Q</sub>- und X<sub>Q</sub>-Werte entsprechend den häufigsten MS{{fn|2}}-Kurzschlusswerten in Versorgungsnetzen des EVU (also 250 MVA und 500 MVA).

=== Transformatoren ===
(siehe {{FigRef|G34}})

Die Impedanz Z<sub>tr</sub> eines Transformators, von den NS-Klemmen aus gesehen, wird durch folgende Formel bestimmt: 

<math>Z_{tr} = \frac {U_{20}\, ^2}{P_r} \times \frac{U_k}{100}\ ,</math> 

wobei gilt: 

{{def
|U<sub>20</sub>| Sekundärspannung zwischen den Außenleitern ohne Last in V 
|P<sub>r</sub>| Bemessungsleistung des Transformators in kVA 
|u<sub>k</sub>| Spannung der Kurzschlussimpedanz des Transformators in&nbsp;% }}

Der Widerstand der Transformatorwicklungen R<sub>tr</sub> kann von den Gesamtverlusten wie folgt abgeleitet werden: 

<math>P_{cu}= 3Ie^2 \times R_{tr} </math>, so dass 

<math>R_{tr}=\frac{P_{cu} \times 10^3}{3Ie^2}</math> in mΩ 

wobei gilt: 

{{def
|P<sub>cu</sub>| Gesamtverlust in W 
|I<sub>e</sub>| Bemessungsbetriebsstrom in A 
|R<sub>tr</sub>| Widerstand einer Transformatorphase in mΩ (die NS- und die entsprechende HS-Wicklung für eine NS-Phase sind in diesem Widerstandswert enthalten). }}

<math> X_{tr}=\sqrt {Z_{tr}^{2} - R_{tr}^{2}}</math> 

Für eine annähernde Berechnung kann Rtr vernachlässigt werden, da in Standard-Verteiltransformatoren X ≈ Z gilt.

=== Leistungsschalter ===

In NS-Stromkreisen muss die Impedanz der dem Fehlerort vorgeschalteten Leistungsschalter berücksichtigt werden. Der im Allgemeinen angenommene Blindwiderstandswert beträgt 0,15 mΩ pro Leistungsschalter, während der Widerstand vernachlässigt wird. 

=== Sammelschienen ===

Der Widerstand von Sammelschienen ist im Allgemeinen vernachlässigbar, so dass die Impedanz praktisch vollständig reaktiv ist und ca. 0,15 mΩ/m{{fn|3}} für Sammelschienen in Niederspannungs-Schaltgerätekombinationen beträgt (eine Verdopplung des Abstandes zwischen den Schienen erhöht den Blindwiderstand nur um ca. 10&nbsp;%). 

{{tb-start|id=Tab1203|num=G34|title=Widerstands-, Blindwiderstands- und Impedanzwerte für typische 400 V-Verteiltransformatoren mit MS-Wicklungen ≤ 20 kV|cols=4}}
{| class="wikitable"
|-
! rowspan="2" | Bemessungsleistung (kVA) 
! colspan="4" | Öltransformatoren Kurzschlussverluste Reihe Bk 
! colspan="4" | Gießharz-Transformatoren Kurzschlussverluste Reihe Bk
|-
! U<sub>k</sub> (%) 
! R<sub>tr</sub> (mΩ) 
! X<sub>tr</sub>(mΩ) 
! Z<sub>tr</sub> (mΩ) 
! U<sub>k</sub> (%) 
! R<sub>tr</sub> (mΩ) 
! X<sub>tr</sub>(mΩ) 
! Z<sub>tr</sub> (mΩ)
|-
| 100 
| 4 
| 23,6 
| 59,5 
| 64,0 
| 6 
| 32,0 
| 90,5 
| 96,0
|-
| 160 
| 4 
| 12,5 
| 38,0 
| 40,0 
| 6 
| 16,9 
| 57,6 
| 60,0
|-
| 250 
| 4 
| 7
| 24,6 
| 25,6
| 6 
| 9,7 
| 37,15
| 38,4
|-
| 315 
| 4 
| 5,2 
| 19,6 
| 20,3 
| 6 
| -
| -
| -
|-
| 400 
| 4 
| 3,8 
| 15,5 
| 16,0 
| 6 
| 4,9 
| 23,49 
| 24,0
|-
| 500 
| 4 
| 3 
| 12,5
| 12,8 
| 6 
| - 
| - 
| -
|-
| 630 
| 4 
| 2,2 
| 9,9
| 10,2 
| 6 
| 2,94
| 14,95 
| 15,24
|-
| 800 
| 6 
| 1,75 
| 11,9 
| 12 
| 6 
| 2,25 
| 11,79 
| 12,0
|-
| 1000 
| 6 
| 1,44 
| 9,5 
| 9,6 
| 6 
| 1,6 
| 9,47 
| 9,6
|-
| 1250 
| 6 
| 1,13 
| 7,6 
| 7,7 
| 6 
| 1,23 
| 7,58 
| 7,68
|-
| 1600 
| 6 
| 0,9
| 5,9 
| 6 
| 6 
| 0,91 
| 5,93 
| 6,0
|-
| 2000 
| 6 
| 0,72 
| 4,75 
| 4,8 
| 6 
| 0,72 
| 4,75 
| 4,8
|-
| 2500 
| 6 
| 0,56 
| 3,8 
| 3,84 
| 6 
| 0,54 
| 3,8 
| 3,84
|-
| 3150 
| - 
| - 
| - 
| - 
| 6 
| 0,42 
| 3,02 
| 3,05
|}

=== Stromkreisleiter ===
Der Widerstand eines Leiters wird durch folgende Formel bestimmt: 

<math>R_L=\rho_0 \frac{L}{S}\ ,</math> 

wobei gilt:

{{def 
|ρ<sub>0</sub>|spezifischer Widerstand des Leiterwerkstoffs bei 20°C im ungestörten Betrieb. (nach IEC 60364-5-52 (VDE 0100-520) wird als spezifischer elektrischer Widerstand der 1,25 fache Wert des spezifischen elektrischen Widerstandes bei 20°C genommen):}}
*22,5 mΩ x mm<sup>2</sup>/m für Kupfer (Cu)
*36 mΩ x mm<sup>2</sup>/m für Aluminium (Al)

{{def
|L| Leitungslänge in m 
|S| Leiterquerschnitt in mm<sup>2</sup>  }}

Blindwiderstandswerte für Kabel und Leitungen sind beim Hersteller erhältlich. Bei Querschnitten, die unter 50 mm<sup>2</sup> liegen, kann der Blindwiderstand vernachlässigt werden. Fehlen weitere Informationen, kann ein Wert von 0,08 mΩ/m (für 50 Hz-Systeme) oder 0,096 mΩ/m (für 60 Hz-Systeme) verwendet werden. Für Schienenverteilersysteme und vorkonfektionierte Kabelführungssysteme wenden Sie sich bitte an den Hersteller.

=== Motoren ===
Im Moment eines Kurzschlusses funktioniert ein laufender Motor (kurzzeitig) wie ein speisender Generator. 

Im Allgemeinen kann dieser Fehlerstrom ignoriert werden. Für eine genauere Berechnung kann dennoch, besonders in Fällen von großen Motoren und/oder vielen kleineren Motoren, der Gesamtstromwert mit Hilfe folgender Formel geschätzt werden: 

I<sub>km</sub> = 3,5I<sub>e</sub> jedes Motors, d. h. 3,5mI<sub>e</sub>: für m ähnliche gleichzeitig laufende Motoren. 

Betroffen sind nur dreiphasige Motoren, da die Speisung durch einphasige Motoren vernachlässigbar ist.

=== Störlichtbogenwiderstand ===
Kurzschlüsse bilden im Allgemeinen einen Lichtbogen, der widerstandsbehaftet ist. Der Widerstand ist nicht dauerhaft und sein Durchschnittswert ist niedrig, aber bei niedriger Spannung reicht dieser Widerstand aus, um den Fehlerstrom zu reduzieren. Erfahrungsgemäß ist eine Reduzierung von ca. 20&nbsp;% zu erwarten. Dieses Phänomen unterstützt beträchtlich das Beherrschen der Abschaltströme, jedoch nicht die Einschaltströme durch den Leistungsschalter. 

=== Übersichtstabelle ===
(siehe {{FigRef|G35}})

{{tb-start|id=Tab1204|num=G35|title=Übersichtstabelle mit Impedanzen für verschiedene Teile eines Versorgungssystems|cols=5}}
{| class="wikitable"
|-
! colspan="2" | Teile des Versorgungssystems 
! R (mΩ) 
! X (mΩ)
|-
| rowspan="7" | [[File:DB422317.svg]]
| Versorgungsnetz {{FigureRef|G33}} 
| <math>\frac {R_Q}{X_Q} = 0,1</math>
| X<sub>Q</sub>= 0,995 Z<sub> Q </sub> ; 
<math>Z_Q = \frac{ U_{20}\, ^2\times C_{MS} }{P_k}</math>
|-
| Transformator {{FigureRef|G34}} 
| 
<math>R_{tr}= \frac{P_{cu}\times 10 ^ 3}{3 I^2 _n}</math>

| 
<math>\sqrt {Z_{tr}^2 - R_{tr}^2}</math> 

mit 

<math>Z_{tr} = \frac {U_{20}\, ^2}{P_r}\times \frac{U_k}{100}</math>

|-
| Leistungsschalter 
| Vernachlässigbar 
| Vernachlässigbar
|-
| Sammelschienen 
| Vernachlässigbar für S > 200 mm<sup>2</sup> in der Formel:<br><math>R_B = \rho \frac{L}{S}</math>{{tn|A}}
| X<sub>B</sub> = 0,15 mΩ/m
|-
| Stromkreisleiter{{tn|B}}
| <math>R_L = \rho \frac{L}{S}</math>{{tn|A}} 
| Kabel: X<sub>L</sub> = 0,08 mΩ/m
|-
| Motoren 
| Siehe Abschnitt 4.2 Motoren (häufig vernachlässigbar bei NS) 
| 
|-
| {{tb-HC1}} | '''Dreiphasiger Kurzschlussstrom in kA''' 
| {{tb-HC1}} colspan="2" | <math>I_K= \frac{U_{20} }{\sqrt 3 \sqrt{ R_T\, ^2 + X_T}\, ^2}</math>
|}
{{tb-notes
|txn1= U<sub>20</sub>: Sekundärspannung zwischen den Außenleitern des Verteiltransformators ohne Last (in V) 
|txn2= P<sub>k</sub>: dreiphasige Kurzschlussleistung an den MS-Klemmen des Verteiltransformators (in MVA) 
|txn3= P<sub>cu</sub>: Kurzschlussverluste des Verteiltransformators (in W) 
|txn4= P<sub>r</sub>: Bemessungsleistung des Verteiltransformators (in kVA) 
|txn5= u<sub>k</sub>: Spannung der Kurzschlussimpedanz des Verteiltransformators (in&nbsp;%) 
|txn6= R<sub>T</sub>: Gesamtwiderstand 
|txn7= X<sub>T</sub>: Gesamtblindwiderstand 
|txn8= C<sub>MS</sub>: Spannungsfaktor zur Berechnung der Quellenimpedanz 
|txn9= C<sub>NS</sub>: Spannungsfaktor zur Berechnung der Kurzschlussströme 
|A= ρ: spezifischer Leiterwiderstand bei 20 °C<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ρ: 22,5 mΩ x mm<sup>2</sup>/m für Kupfer (Cu)<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ρ: 36 mΩ x mm<sup>2</sup>/m für Aluminium (Al)
|B= Sind mehrere Leiter pro Außenleiter parallelgeschaltet, sind die Widerstände der Leiter durch die Anzahl der Leiter zu dividieren. }}

=== Beispiel für Kurzschlussstromberechnungen ===
(siehe {{FigRef|G36}})

{{tb-start|id=Tab1206|num=G36|title=Beispiele für Kurzschlussstromberechnungen für eine durch einen 1000 kVA Verteiltransformator mit 400 V (Nennspannung) gespeiste NS-Anlage |cols=5}}
{| class="wikitable"
|-
! colspan="2" | NS-Anlage 
! R (mΩ) 
! style="width:120px" | X (mΩ) 
! R<sub>K</sub> (mΩ) 
! X<sub>K</sub> (mΩ) 
! {{tb-HC1}} colspan="2" | <math>I_K= \frac{U_{20} }{\sqrt 3 \sqrt{ R_T\, ^2 + X_T}\, ^2}</math> 
|-
| rowspan="7" | [[File:DB422318.svg]]
| MS-Netz Pk = 500 MVA 
| 0,035 
| 0,351 
| 
| 
| 
|-
| GH-Transformator<br>20 kV/420 V<br>P<sub>r</sub> = 1000 kVA<br>u<sub>k</sub> = 5 %<br>P<sub>cu</sub> = 13,3 x 10<sup>3</sup> Watt
| 2,24 
| 8,10 
| 
| 
| 
|-
| Einadrige Kabel<br>5 m <br>4 x 240 mm<sup>2</sup> Kupfer<br>je Außenleiter<br>
| <math>Rc= \frac {22,5}{4}\times \frac {5}{240} = 0,12</math> 
| X<sub>L</sub> = 0,08 x 5 = 0,40 
| 2,41 
| 8,85 
| I<sub>k1</sub> = 26 kA
|-
| Hauptleistungsschalter 
| R<sub>D</sub> = 0 
| X<sub>D</sub> = 0
| 
| 
| 
|-
| Sammelschienen <br>10 m 
| R<sub>B</sub> = 34 
| X<sub>B</sub> = 0,15 x 10 = 1,5 
| 2,41 
| 10,5 
| I<sub>K2</sub> = 22 kA
|-
| Dreiadriges Kabel <br>100 m <br>95 mm<sup>2</sup> Kupfer<br>
| <math>R_L= {22,5}\times \frac {100}{95} = 23,68</math> 
| X<sub>L</sub> = 100 x 0,08 = 8 
| 26,1 
| 18,5 
| I<sub>K3 </sub>= 7,4 kA
|-
| Dreiadriges Kabel<br>20 m <br>10 mm<sup>2</sup> Kupfer Abgangsstromkreise
| <math>R_L= {22,5}\times \frac {20}{10} = 45</math> 
| X<sub>L</sub> = 20 x 0,08 = 1,6 
| 71,1 
| 20,1 
| I<sub>K4</sub> = 3,2 kA
|}

{{footnotes}}
<references>
{{fn-detail|1|Abschaltleistung in MVA: <math>\sqrt3 U_{MS}I_k </math>, wobei gilt:
* U<sub>MS</sub> {{=}} Nennspannung zwischen den Außenleitern in kV (eff)
* I<sub>k</sub> {{=}} dreiphasiger Kurzschlussstrom in kA (eff) }}
{{fn-detail|2|Bis zu 36 kV. }}
{{fn-detail|3|Für 50 Hz-Systeme, aber 0,18 mΩ/m Länge bei 60 Hz.}}
</ref>
</references>

[[en:3-phase_short-circuit_current_(Isc)_at_any_point_within_a_LV_installation]]